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Tópicos Selectos en Computación Científica I
Tópicos Selectos en Computación Científica I

Objetivo:

Estudiar la teoría y los métodos matemáticos-computacionales para la resolución de algunos problemas de ingeniería, física, química y biología. Se hace énfasis en ecuaciones lineales de orden N y sistemas ecuaciones diferenciales de primer orden. Abordando el problema de condiciones iniciales y el problema de valores a la frontera. El problema de Sturm-Liouville es tratado como un problema de valores a la frontera regular y como un problema de valores propios. Se estudia el método de Monte Carlo para simulación y solución de algunos problemas cientifícos y de Ingeniería.

Contenido:

  1. Espacios lineales y grupo de matrices
    • Geometría de los espacios lineales
      • Espacios lineales con producto interior
      • Espacio euclidiano, unitario
      • Espacio, espacio-tiempo de Minkowsky y espacio simpléctico
    • Estructura de matrices
      • Espacio vectorial de matrices
      • Polinomios de matrices
      • Problema de valores propios
    • Grupo de matrices
      • El grupos general y subgrupos
      • Topologías de grupos de matrices y grupos de matrices de Lie

  2. Herramienta básica del algebra lineal
    • Representación y solución de sistemas lineales
    • Factorización LU
    • Sistema tridiagonal y pentagonal de ecuaciones
    • Solución al problemas de valores propios

  3. Ecuaciones diferenciales ordinarias
    • El problema de valores inciales de EDO
      • El método de Picard
      • Ecuaciones diferenciales de orden N
      • Sistemas de ecuaciones diferenciales
    • El problema de valores a la frontera y de Sturm-Liouville
      • Problema regular de Sturm-Liouville
      • Problema singular de Sturm-Liouville

  4. Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales
    • Métodos para el problema de valores iniciales
      • Métodos de diferencias finitas
      • Método de Euler
      • Método de Runge-Kutta
      • Método de extrapolación
    • Computación de la exponencial matricial
    • Métodos para el problema de valores a la frontera
      • Método de "Shooting"
      • Método de equilibrio
      • El problema de valores propios

  5. Método Monte Carlo
    • Generación de números aleatorios
    • Generación de diversas variables aleatorias continuas
    • Generación de diversas variables aleatorias discretas
    • Pruebas Estadísticas
    • Importancia de muestreo

  6. Experimentación y modelos
    • Modelos basados en ecuaciones diferenciales de segundo orden
      • Ecuación Bessel
      • Ecuación de Laguerre
      • Ecuación de Legendre
      • Ecuación de Tchevychev
      • Ecuación de Lotka-Volterra
      • Ecuación de Schršodinger
      • Ecuación de Dirac
    • Modelos basados en Monte Carlo
      • Cadenas de Markov
      • Integración numérica via método Monte Carlo
      • Camino aleatorio y movimiento browinano
      • Integrales de Wiener
      • Integrales de Ito
      • Integrales de Feyman

Bibliografía:

  • Sergio V. Chapa Vergara, Harold V. McIntosh; "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Teoría de Weyl, Tomo I: Ecuaciones Diferenciales Escalares y Problema de Sturm- Liouville"; Ed. Lagares, México D.F. 2005.
  • Sergio V. Chapa Vergara, Harold V. McIntosh, Amilcar Meneses Viveros; "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Teoría de Weyl, Tomo III: Teoría de Weyl y aplicaciones a la mecánica cuántica"; por publicar.  
  • Bernd Thaller; "Visual Quantum Mechanics"; Springer-Verlag, July 2000.
  • Bernd Thaller; "Advanced Visual Quantum Mechanics" Springer-Verlag, 2005.
  • David P. Landau, Kurt Binder; "A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics"; Cambridge University Press; 2000.
  • J.D. Hoffman; "Numerical Methods for Engineers and Scientists"; Marcel Dekker; Second Edition, 2001.
  • S.E. Arge, A.M. Bruaset, H.P. Langtangen; "Modern Software Tools for Scientific Computing" ; Birkhäuser; 1997.
  • Dæhlen, A. Tveito; "Numerical Method and Software Tools in Industrial Mathematics"; Birkäauser; 1997.
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